Modèle T-S, PDC, LMIs et Réseaux de Neurones
Modèle T-S, PDC, LMIs et Réseaux de Neurones
Yann Morère
LAMIH, U.M.R. CNRS 8530, Université de Valenciennes
BP 311 Le Mont-Houy, 59300 Valenciennes Cedex
Phone: +33 03 27 14 14 87, Fax: +33 03 27 14 12 94
email:morere@univ-valenciennes.fr
Résumé
Cet article présente un survol de différentes publications concernant la stabilisation
des systèmes automatiques non-linéaires représentés par des modèles flous de
type Takagi & Sugeno. L'obtention du régulateur flou est basée sur l'utilisation
du concept PDC (Parallel Distributed Compensation). Leur stabilité du système
flou complet est vérifiée par l'intermédiaire des LMIs, outil mathématique puissant
utilisé pour la résolution de problèmes semidéfinis (SDP).
Table des Matières
1 Introduction
2 Modèles Flous de types Takagi & Sugeno
3 Analyse de la stabilité
3.1 Analyse de la Stabilité par l'approche de Lyapunov
4 Régulateurs flous et conditions de stabilité relachées
4.1 Conception de régulateur flou par approche PDC (Parallel Distibuted Compensation)
4.2 Conditions de stabilité du système complet
4.3 Conditions de stabilité relachée
4.4 Conception du régulateur flou par LMIs (Linear Matrix Inequalities)
4.4.1 Définition d'une LMI
4.4.2 Condition de stabilité de Lyapunov sous forme LMI
4.4.3 Conditions de stabilité revisitées par les LMIs
5 Observateurs Flous
6 Conception LMIs pour les systèmes augmentés
6.1 Etude de la stabilité dans le Cas A
6.2 Etude de la stabilité dans le Cas B
6.3 Exemples
7 Critère de stabilité des systèmes à base de réseaux de neurones
7.1 Modèle d'un réseau de neurones
7.2 Modèlisation d'un réseau de neurones par un modèle T-S
7.3 Critère de stabilité de système à base de réseau de neurones
7.3.1 Conditions de stabilité pour réseau monocouche simple
7.3.2 Conditions de stabilité pour système flou bouclé
7.4 Analyse de la stabilité
Table des Figures
1 Conception du régulateur flou par PDC
2 Représentation du Système augmenté
3 Système flou augmenté (Schéma Bloc Simulink)
4 Commande du système flou augmenté dans la cas 1
5 Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 1
6 Sorties du système flou augmenté dans la cas 1
7 Commande du système flou augmenté dans la cas 2
8 Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 2
9 Sorties du système flou augmenté dans la cas 2
10 Réseau de neurones multicouches type feedforward
11 Système de commande basé sur les réseaux de neurones
12 Réseau de neurone simple
13 Representation de l'interpoltion de f(v)
14 Réseau à 3 couches à 2 entrées
1 Introduction
D'après [
Ghaoui1997] un problème de commande se décompose en trois sous-problèmes :
- problème de modélisation : obtenu par des connaissances a priori et/ou mesures
d'entrées-sorties
- problème de robustesse : capacité à conserver ses propriétés nominales.
- probléme de synthèse : recherche d'un ensemble de paramètres de contrôle afin
d'avoit un certain niveau de robustesse.
Le regroupement de ces trois problèmes forment le problème de commande.
La stabilité est une des choses les plus importantes en automatique des systèmes
non linéaires. La plupart du temps l'approche typique de la stabilisation des
systèmes non linéaires est de réaliser une commande par retour d'état linéaire.
On peut donc s'assurer de la stabilité de notre système autour de point de fonctionnement
mais on ne peut assurer la stabilité globale.
L'approche présentée dans les documents étudiés n'est pas locale : le système
est représenté par un modèle flou non linéaire de type T-S (reference). Dans
cette représentation les dynamiques locales dans les différents espaces d'états
sont représentés par des systèmes linéaires.
La conception de la commande est basée sur la loi PDC (Parallel Distributed
Compensation). L'idée est, que pour chaque sous-modèle, la commande compense
son effet par un retour d'état. Le système global comprenant le système ainsi
que le régulateur, donne un système non linéaire.
La loi de commande est basée sur l'approche PDC (Parallel Distributed Compensation)
[
Wang et al. 1996], dont l'idée principale est de compenser l'action des sous-modèles
linéaire du système flou.
2 Modèles Flous de types Takagi & Sugeno
Le modèle flou proposé par Takagi et Sugeno est décrit par des règles floues
du type "Si .... Alors ..." qui représentent localement des relations d'entrées
sorties du système. La i ème règle du modèle flou T-S est définie par
les équations suivantes (forme continue CFS et forme discrète DFS) :
- <CFS>
-
Règle i du procédé :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ...
et zp(k) est Mip
Alors {
i=1,2,,r
- <DFS>
-
Règle i du procédé :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ...
et zp(k) est Mip
Alors {
i=1,2,,r
Où i=1 ... r est le nombre de règles, M
ij sont les sous-ensembles
flous. x(t)
Î \mathbb R
n×n est le vecteur d'état, u(t)
Î \mathbb R
m
est le vecteur d'entrée, y(t)
Î \mathbb R
q est le vecteur de sortie,
A
i Î \mathbb R
n×n,B
i Î \mathbb R
n×m et
C
i Î \mathbb R
q×n . z
1(t)
~ z
p(t) sont les
variables de prémisses.
La sortie global du système flou inferré en boucle fermée est donnée par les
équations suivantes :
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
wi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)} |
|
|
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)} |
| | (1) |
| |
|
| |
| |
|
| | (2) |
|
- <DFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
wi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)} |
|
|
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)} |
| | (3) |
| |
|
| |
| |
|
| | (4) |
|
Où z(t)=[ z
1(t) z
2(t)
z
p(t)] , w
i(z(t))=
Õpj=1M
ij(z
j(t))
et h
i(z(t))=[(w
i(z(t)))/(
åri=1w
i(z(t)))] pout tout
t . M
ij(z
j(t)) est le degrés d'appartenance de z
j(t)
à M
ij .
3 Analyse de la stabilité
Afin d'étudier la stabilité des systèmes non linéaires, on les représent par
des modèles flous de types Takagi Sugeno. Les dynamiques du système sont capturées
par les implications floues qui caractérisent les relations locales dans l'espace
d'état.
La principale caractéristique du modèle flou Takagi-Sugeno est d'exprimer les
dynamiques locales de chaque implications par un système linéaire.
D'après les équations
1,
2,
3 et
4 le système autonome en boucle ouverte nous donne :
- <CFS>
-
|
×
x
|
(t)= |
|
= |
r å
i=1
|
hi(z(k))Aix(k) |
| (5) |
- <DFS>
-
x(t+1)= |
|
= |
r å
i=1
|
hi(z(k))Aix(k) |
| (6) |
En utilisant l'approche de Lyapunov, nous pouvons déduire des conditions qui
assurent la stabilisation du système. Ces conditions sont données dans le paragraphe
suivant.
3.1 Analyse de la Stabilité par l'approche de Lyapunov
Les conditions de stabilité de Lyapunov sont définies dans [
Tanaka et Sugeno1992]
par :
Dans le cas continu :
- <CFS>
-
Théorème 1
Le système flou continu est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 telle que
Dans le cas discret :
- <DFS>
-
Théorème 2
Le système flou discret est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 telle que
Cette matrice P est commune à tous les sous-modèles. Si r=1 alors
le problème est ramené au cas linéaire.
La condition de stabilité est déduite en utilisant une fonction quadratique
V(x)=x
TPx . Le système est dit quadratiquement stable et V est
la fonction quadratique de Lyapunov.
Pour vérifier la stabilité des modèles flous, il n'y a pas de procédure systématique
pour tester l'existence de P . La plupart du temps ceci est réalisé par
essais-erreurs.
On peut considérer ce problème comme un problème d'optimisation convexe (problème
semidéfinis SDP) et utiliser les outils mathématiques LMIs (Linear Matrix Inequalities)
qui a pour but d'enlever la partie empirique de l'opération et d'avoir une résolution
de problème en temps polynomial.
Afin de vérifier la stabilité il faut trouver la matrice P commune à
tous les sous-systèmes flous A
i de notre modèle.
A ce stade une question peut se poser : est ce que le système global est stable
si tous les sous systèmes sont stables individuellement c-à-d si tous les A
i
sont stables : la réponse est non en général pour les théorèmes
1
et
2.
4 Régulateurs flous et conditions de stabilité relachées
4.1 Conception de régulateur flou par approche PDC (Parallel Distibuted Compensation)
Ce concept est basé sur la mise en oeuvre du contrôleur flou afin de stabilisé
les systèmes flous via un modèle flou du procédé. L'idée est de créé un compensateur
pour chaque règle du modèle flou.
La procédure est la suivante :
- Représentation flou T-S du système à commander
- Chaque règle de commande est conçue à partir de la règle du modèle flou précédement
définit.
- Une loi de commande linéaire ast alors appliquée à chaque sous modèle flou
Le régulateur ainsi conçu partage la même base de règles que le modèle flou
(pour sa partie prémisse).
Le concept PDC utilise une loi de commande linéaire pour chaque sous-modèle.
Le résultat est non linéaire en général. Le contrôleur ainsi conçu partage les
même sous-ensembles flous que le modèle. Cf la figure
1.
Figure 1: Conception du régulateur flou par PDC
Le régulateur est définit de la façon suivante :
Règle i : Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est
Mi2 ... et zp(k) est Mip Alors u(t)=-Fix(k) i=1,...,r
.
Le régulateur possède un loi de retour d'état linéaire donc la forme suivante :
La conception du régulateur revient à déterminer les gains locaux F
i
dans la partie conclusion des règles de la loi PDC.
En substituant
9 dans
1 et
3
on obtient pour le cas continu :
- <CFS>
-
|
×
x
|
(t)= |
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
wi(z(t))wj(z(t)){Ai-BiFj}x(k) |
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
wi(z(t))wj(z(t)) |
|
= |
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t)){Ai-BiFj}x(k) |
| (10) |
- <DFS>
-
x(t+1)= |
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
wi(z(t))wj(z(t)){Ai-BiFj}x(k) |
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
wi(z(t))wj(z(t)) |
|
= |
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t)){Ai-BiFj}x(k) |
| (11) |
En posant G
ij=( A
i-B
iF
j) on peut encore écrire :
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t))hi(z(t))Giix(k) |
| | (12) |
| |
|
2· |
r å
i < j
|
hi(z(t))hj(z(t)) |
ì í
î
|
Gij+Gji
2
|
ü ý
þ
|
x(k) |
| |
|
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t))hi(z(t))Giix(k) |
| | (13) |
| |
|
2· |
r å
i < j
|
hi(z(t))hj(z(t)) |
ì í
î
|
Gij+Gji
2
|
ü ý
þ
|
x(k) |
| |
|
4.2 Conditions de stabilité du système complet
On peut alors en déduire les conditions suffisantes de stabilité d'après
7
et
8 :
- <CFS>
-
Théorème 3
Le système complet continu est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive telle que :
| |
|
| | (14) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P+P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
£ 0 |
|
|
| | (15) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
- <DFS>
-
Théorème 4
Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive telle que :
| |
|
| | (16) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
-P £ 0 |
|
|
| | (17) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
Ces 2 théorèmes découlent directement des théorèmes
1 et
2.
4.3 Conditions de stabilité relachée
On a vu précedement que prouver la stabilité d'un système flou revenait à trouver
une matrice P qui vérifie les conditions de stabilité. Si le nombre de
règles r est assez grand il peut être difficile de trouver celle-ci.
C'est pourquoi l'idée est de relacher les conditions de stabilité [
Tanaka et al. 1998]
afin de rendre l'opération plus facile. Pour cela il est nécéssaire de vérifier :
|
r å
i=1
|
h2i(z(t))- |
1
r-1
|
|
r å
i < j
|
2hi(z(t))hj(z(t)) ³ 0 |
|
où
|
r å
i=1
|
hi(z(t))=1, hi(z(t)) ³ 0 |
|
pour tout i . Ceci est vérifié par
åri=1h
2i(z(t))
-[ 1/(r
-1)]
åri < j2h
i(z(t))h
j(z(t))=[ 1/(r
-1)]
åri < j{ h
i(z(t))
-h
j(z(t))}
2 ³ 0 .
Dans [
Tanaka et al. 1998], les conditions de stabilité relachées suivantes sont
définies de la manière suivante:
- <CFS>
-
Théorème 5
Le système complet continu est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive et une matrice Q commune positive
semi définie telles que :
| |
|
| | (18) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P+P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
-Q £ 0 |
|
|
| | (19) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
- <DFS>
-
Théorème 6
Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive telle et une matrice Q commune
positive semi définie telles que :
| |
|
| | (20) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
-P-Q £ 0 |
|
|
| | (21) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
4.4 Conception du régulateur flou par LMIs (Linear Matrix Inequalities)
4.4.1 Définition d'une LMI
Une classe de problème d'optimisation numérique appelée les problèmes LMI sont
resolvables en temps polynômial (par opposition aux techniques d'optimisation
stochastiques qui elles n'ont pas de limite de temps de résolution). Pour la
commande de système on peut reconsidérer notre problème en un problème LMI.
Il faut alors le mettre sous forme LMI.
Une LMI est une inégalité matricielle de la forme [
Tanaka et Sugeno1992] :
où x
T(x)=( x
1,x
2,
,x
n) et la variable recherchée
et les matrices symétriques F
i=F
Ti Î \mathbb R
n×n, i=0,
,m
sont données et F(x) est définie positive. La LMI représente une contrainte
convexe sur x soit x/F(x) > 0 . Cette LMI peut regrouper plusieurs
contraintes convexes sur x .
4.4.2 Condition de stabilité de Lyapunov sous forme LMI
L'inégalité de Lyapunov peut être considérée comme une LMI. En effet au départ
cette équation n'est pas écrite sous la forme standard F(x) > 0 . On peut
alors remettre l'équation sous la forme d'un LMI standard en prenant F
0=0
et F
i=A
TP
iA
-P
i où P
1,P
2,
,P
m sont les
bases d'une matrice symétriques n×n .
Un problème LMI est posé de la façon suivante : Soit une LMI F(x) > 0 ,
le problème LMI est de trouve x
feas tel que F(x
feas) > 0 .
C'est un problème de faisabilité convexe.
Le problème de stabilisation de Lyapunov est un problème LMI. En effet si on
considère les matrices A
i Î \mathbb R
n×n, i=1,
,r ,
on doit trouver la matrice P , définie positive qui vérifie les LMIs suivantes
dans le cas discret :
P > 0, ATiPAi-P < 0, i=1,2,,r |
|
Les conditions de stabilité ont été reconditionnées sous forme LMIs. Cette transformation
permet d'utiliser des algorithmes d'optimisation convexes performants pour la
commande et la stabilisation des systèmes complexes dans le cadres des modèles
de Takagi Sugeno et commande PDC.
La procédure de conception du régulateur flou est itérative. Pour chaque règle
un régulateur est déterminé. Ensuite une vérification de la stabilité par LMIs
est appliquée afin de prouver que le régulateur ainsi conçu stabilise le système.
Si par hasard le régulateur ne convenait pas on recommence la procédure de conception
au départ.
Mais du point de vue de la commande, il est préférable de concevoir le régulateur
en une seul fois. Donc ici les LMIs ont une grande impotance : elles permettent
de reconsidérer le problème de commande du système en boucle fermée d'une manière
unifiée en utilisant le modèle Takagi Sugeno et le conception PDC.
Exemple de mise en forme de problème sous forme LMIs :
On consigère le cas où r=1 , c-à-d qu'il n'y a qu'une seule règle. Le
système devient donc linéaire invariant dans le temps.
D'après le théorème
3 on peut écrire que le système est quadratiquement
stable si il existe une matrice P > 0 telle que :
Le problème de commande revient doncà trouver les gains de retour d'état F
tels que le système bouclé soit stable. Il est alors possible de redéfinir le
problème en problème LMIs.
En multipliant l'inégalité à gauche et à droite par P
-1 et en définissant
le changement du variable suivant Q=P
-1 on peut alors écrire :
Q{ A-BF} TQ-1{ A-BF} Q-Q < 0 |
| (24) |
Puis on définit K=FQ tel que pour Q > 0 on aie F=KQ
-1 .
En remplaçant dans
24 on a :
Q-{ AQ-BK} TQ-1{ AQ-BK} > 0 |
| (25) |
En utilisant le lemme de Schur on peut écrire :
D'ici le système est dit quadratiquement stable si il existe une matrice Q > 0
et K qui vérifient l'inégalité
26.
Lemme 1
(Schur) Soit Q=Qt , R=RT et S des matrices de tailles
appropriée. La condition
est équivalente à
R ³ 0,Q-SR+ST ³ 0,S(I-RR+)=0, |
|
où R+ dénote l'inverse de Moore-PenRose de R .
Il est alors possible d'étendre cette approche aux modèles flous de types T-S
à plusieurs règles. Pour l'instant la stabilisation quadratique est faite par
une commande par retour d'état. On peut alors écrire :
avec les gains de retour d'état F=KQ
-1 .
Il est possible aussi d'utilisé les lois de commandes PDC avec cette résolution
par LMIs.
4.4.3 Conditions de stabilité revisitées par les LMIs
D'après les conditions relachées décrites dans le théorème
5 et
6,
le problème est de déterminer les gains F
i dans le cas continu tels
que :
- <CFS>
-
Il faut trouver X > 0,Y
³ 0 et M
i (i=1
~ r) tels que :
| |
-XATi-AiX+MiTBiT+BiMi-(s-1)Y > 0 |
|
| | (28) |
| |
|
| |
| |
+MjTBiT+BiMj+MiTBjT+BjMi ³ 0 |
|
| |
| |
|
| | (29) |
|
où
Toutes ces inégalités sont des LMIs dont les variables sont X,Y et M
i .
C'est un problème de faisabilité convexe. On peut résoudre ce problème grâce
à des outils mathématiques récents (par exemple la toolbox LMI de matlab). On
peut alors déterminer les gains de retours d'état F
i dans le cas d'une
commande PDC, la matrice définie positive P et la matrice Q d'après
les équations suivantes :
dans le cas discret :
- <DFS>
-
Il faut trouver X > 0,Y
³ 0 et M
i (i=1
~ r) tels que :
| |
|
| | (32) |
| |
|
| |
| |
|
1/2·{ AiX+AjX-BiMj-BjMi} T |
|
|
|
ù ú
û
|
³ 0 |
|
| |
| |
|
| | (33) |
|
où
Toutes ces inégalités sont des LMIs dont les variables sont X,Y et M
i .
C'est un problème de faisabilité convexe. On peut résoudre ce problème grâce
à des outils mathématiques récents (par exemple la toolbox LMI de matlab). On
peut alors déterminer Les gains de retours d'état F
i dans le cas d'une
commande PDC, la matrice définie positive P et la matrice Q d'après
les équations suivantes :
5 Observateurs Flous
Nous avons besoin d'observateurs flous dans les systèmes où l'état, ou bien
toutes les variables d'état, ne sont pas directement observables. A ce moment
il convient de concevoir un observateur qui donnera une estimation de l'état
du système. Les obervateurs flous doivent vérifier x(t)
-[^x](t)
® 0
quand t
® ¥ où [^x](t) représente le vecteur
d'état estimé par l'observateur flou basé sur un modèle T-S.
Dans le cas continu le régulateur est défini de la façon suivante :
- <CFS>
-
Règle i de l'observateur :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ...
et zp(k) est Mip
Alors
|
^
|
(t)=Ai |
^
x
|
(t)+Biu(t)+Ki(y(t)- |
^
y
|
(t)), i=1,2,,r |
| (36) |
Dans le cas discret le régulateur est défini de la façon suivante :
- <DFS>
-
Règle i du procédé :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ...
et zp(k) est Mip
Alors
|
^
x
|
(t+1)=Ai |
^
x
|
(t)+Biu(t)+Ki(y(t)- |
^
y
|
(t)), i=1,2,,r |
| (37) |
Où i=1 ... r est le nombre de règles, M
ij sont les sous-ensembles
flous du modèle du procédés. [^x](t)
Î \mathbb R
n×n est
le vecteur d'état estimé, u(t)
Î \mathbb R
m est le vecteur d'entrée,
y(t)
Î \mathbb R
q,[^y](t)
Î \mathbb R
q sont les vecteurs
de sortie réels et estimés, A
i Î \mathbb R
n×n,B
i Î \mathbb R
n×m
et C
i Î \mathbb R
q×n . z
1(t)
~ z
p(t) sont
les variables de prémisses.
La sortie du estimée de l'observateur est donnée par les équations suivantes :
[^y](t)=
åri=1h
i(z(t))C
i[^x](t) ou [^y](t)=
åri=1h
i([^z](t))C
i[^x](t) .
L'observateur flou possède des lois linéaires dans sa partie conclusion. L'observateur
flou complet est décrit par l'équation :
- <CFS>
-
| |
|
|
|
r å
i=1
|
wi(z(t)) |
ì í
î
|
Ai |
^
x
|
(t)-Biu(t)+Ki |
æ è
|
y(t)- |
^
y
|
(t) |
ö ø
|
ü ý
þ
|
|
|
|
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t)) |
ì í
î
|
Ai |
^
x
|
(t)-Biu(t)+Ki |
æ è
|
y(t)- |
^
y
|
(t) |
ö ø
|
ü ý
þ
|
|
| | (38) |
|
- <DFS>
-
| |
|
|
|
r å
i=1
|
wi(z(t)) |
ì í
î
|
Ai |
^
x
|
(t)-Biu(t)+Ki |
æ è
|
y(t)- |
^
y
|
(t) |
ö ø
|
ü ý
þ
|
|
|
|
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t)) |
ì í
î
|
Ai |
^
x
|
(t)-Biu(t)+Ki |
æ è
|
y(t)- |
^
y
|
(t) |
ö ø
|
ü ý
þ
|
|
| | (39) |
|
Ici les poids w
i(z(t)) sont les mêmes que ceux de la i ème règle
du modèle. La conception de l'observateur flou revient à trouver les gains K
i
de la partie conclusion.
6 Conception LMIs pour les systèmes augmentés
Le système augmenté comprend (Cf. figure
2):
- le procédé
- l'observateur flou
- le regulateur
Figure 2: Représentation du Système augmenté
Ce système doit donc vérifié : x(t)
® 0 quand t
® ¥
et x(t)
-[^x](t)
® 0 quand t
® ¥.
Deux cas peuvent alors se présenter à nous :
- Cas A
- Soit z1(t) ~ zp(t) ne dépendent pas des variables d'états
estimées par l'observateur flou
- Cas B
- Soit z1(t) ~ zp(t) dépendent des variables d'états estimées
par l'observateur flou
L'étude de la stabilité dans le cas A est assez simple alors que l'étude da
ns le cas B devient vite très complexe.
6.1 Etude de la stabilité dans le Cas A
A la place de l'équation
9 il faudra utilisé :
| |
|
- |
r å
i=1
|
wi(z(t))Fi |
^
x
|
(k) |
|
|
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t))Fi |
^
x
|
(k) |
| | (40) |
|
et donc d'après les équations
38,
39
et
40 avec e(t)=x(t)
-[^x](t) , on peut écrire :
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-BiFj) x(t)+BiFje(t)} |
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-KiCj) } e(t) |
| |
|
- <DFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-BiFj) x(t)+BiFje(t)} |
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-KiCj) } e(t) |
| |
|
On peut alors représenté le système augmenté par :
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t))·Gijxa(t) |
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t))hi(z(t))·Giixa(t) |
| |
| |
|
+2 |
r å
i < j
|
hi(z(t))hi(z(t))· |
Gij+Gji
2
|
xa(t) |
| | (41) |
|
- <DFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj(z(t))·Gijxa(t) |
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t))hi(z(t))·Giixa(t) |
| |
| |
|
+2 |
r å
i < j
|
hi(z(t))hi(z(t))· |
Gij+Gji
2
|
xa(t) |
| | (42) |
|
Avec :
dans
41 et
42.
On peut alors déduire les théorèmes suivants d'après les théorèmes
3
et
4:
- <CFS>
-
Théorème 7
Le système augmenté continu est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive :
| |
|
| | (44) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P+P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
£ 0 |
|
|
| | (45) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
- <DFS>
-
Théorème 8
Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive :
| |
|
| | (46) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
-P £ 0 |
|
|
| | (47) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
On peut ensuite déduire les théorèmes suivants d'après les théorèmes
5
et
6 :
- <CFS>
-
Théorème 9
Le système complet continu est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive et une matrice Q commune positive
semi définie telles que :
| |
|
| | (48) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P+P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
-Q £ 0 |
|
|
| | (49) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
- <DFS>
-
Théorème 10
Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive telle et une matrice Q commune
positive semi définie telles que :
| |
|
| | (50) |
|
|
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
T
|
P |
æ è
|
Gij+Gji
2
|
ö ø
|
-P-Q £ 0 |
|
|
| | (51) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
6.2 Etude de la stabilité dans le Cas B
Ce cas représente le fait que les variables de premisses z(t) sont inconnues.
On doit alors utiliser les w
i([^z](t)) à la place de w
i(z(t))
dans le contrôleur flou. Ceci veut dire que h
i(z(t))
¹ h
i([^z](t)) .
Le régulateur flou s'écrit alors de la manière suivante :
| |
|
- |
r å
i=1
|
wi(z(t))Fi |
^
x
|
(k) |
|
|
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
hi(z(t))Fi |
^
x
|
(k) |
| | (52) |
|
L'observateur flou devient :
- <CFS>
-
|
^
|
(t)= |
r å
i=1
|
hi( |
^
z
|
(t)) |
ì í
î
|
Ai |
^
x
|
(t)-Biu(t)+Ki |
æ è
|
y(t)- |
^
y
|
(t) |
ö ø
|
ü ý
þ
|
|
| (53) |
- <CFS>
-
|
^
x
|
(t+1)= |
r å
i=1
|
hi( |
^
z
|
(t)) |
ì í
î
|
Ai |
^
x
|
(t)-Biu(t)+Ki |
æ è
|
y(t)- |
^
y
|
(t) |
ö ø
|
ü ý
þ
|
|
| (54) |
Le système augmenté est obtenu de la manière suivante :
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1s
|
|
r å
=1
|
hi(z(t))hj( |
^
z
|
(t))hs( |
^
z
|
(t))Gijsxa(t) |
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj( |
^
z
|
(t))hj( |
^
z
|
(t))Gijjxa(t) |
| |
| |
|
+2· |
r å
i=1
|
|
r å
j < s
|
hi(z(t))hj( |
^
z
|
(t))hs( |
^
z
|
(t))· |
Gijs+Gisj
2
|
xa(t) |
| | (55) |
|
- <CFS>
-
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1s
|
|
r å
=1
|
hi(z(t))hj( |
^
z
|
(t))hs( |
^
z
|
(t))Gijsxa(t) |
| |
| |
|
|
r å
i=1
|
|
r å
j=1
|
hi(z(t))hj( |
^
z
|
(t))hj( |
^
z
|
(t))Gijjxa(t) |
| |
| |
|
+2· |
r å
i=1
|
|
r å
j < s
|
hi(z(t))hj( |
^
z
|
(t))hs( |
^
z
|
(t))· |
Gijs+Gisj
2
|
xa(t) |
| | (56) |
|
avec :
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
|
( Ai-Aj) -( Bi-Bj) Fs+Kj( Cs-Ci) |
| |
| |
|
| | (57) |
|
Les théorèmes de stabilité pour le système augmenté sont les suivants :
- <CFS>
-
Théorème 11
Le système augmenté continu est asymptotiquement stable s'il
existe une matrice P > 0 définie positive :
| |
|
| | (58) |
|
|
æ è
|
Gijs+Gisj
2
|
ö ø
|
T
|
P+P |
æ è
|
Gijs+Gisj
2
|
ö ø
|
< 0 |
|
|
| | (59) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj([^z](t))hs([^z](t))=0
- <DFS>
-
Théorème 12
Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe
une matrice P > 0 définie positive :
| |
|
| | (60) |
|
|
æ è
|
Gijs+Gisj
2
|
ö ø
|
T
|
P |
æ è
|
Gijs+Gisj
2
|
ö ø
|
-P < 0 |
|
|
| | (61) |
|
pour tous les i et j , sauf les paires (i,j) telles que
hi(z(t))hj([^z](t))hs([^z](t))=0
Maintenant il est impossible d'appliquer les conditions relachées du fait de
h
i(z(t))
¹ h
i([^z](t)) .
6.3 Exemples
Soit le système non-linéaire suivant [
Tanaka et al. 1998] :
|
ì ï ï ï ï í
ï ï ï ï î
|
|
×
x
|
1
|
(t)=x2(t)+sinx3(t)+( x21(t)+1) u(t) |
|
|
|
×
x
|
3
|
(t)=x21(t)x2(t)+x1(t) |
|
|
y1(t)=( x21(t)+1) x4(t)+x2(t) |
|
|
|
|
|
On suppose que x
1(t) et x
3(t) sont observables et que x
1(t)
Î [
-a,a]
et x
3(t)
Î [
-b,b] avec a,b > 0 . Les non linéarités
du systèmes sont x
21(t) et x
3(t) .
Ces non linéarités seront représentées par :
| |
|
F11( x1(t)) ·a2+F21( x1(t)) ·0 |
| |
| |
|
F12( x3(t)) ·1·x3(t)+F22( x3(t)) · |
sinb
b
|
·x3(t) |
| |
|
où F
11( x
1(t)) ,F
21( x
1(t)) ,F
12( x
3(t)) ,F
22( x
3(t))
Î [ 0 1]
et F
11( x
1(t)) +F
21( x
1(t)) = 1, F
12( x
3(t)) +F
22( x
3(t)) = 1 .
On obtient alors :
| |
|
| |
| |
|
1-F11( x1(t)) = 1- |
x2(t)
a2
|
|
| |
| |
|
|
ì ï í
ï î
|
|
b·sinx3(t)-sinb·x3(t)
x3(t)·(b-sinb)
|
, |
| |
| |
|
|
| |
| |
|
| |
| |
|
|
ì ï í
ï î
|
|
b·( x3(t)-sinx3(t))
x3(t)·(b-sinb)
|
, |
| |
| |
|
|
| |
|
F
11,F
21,F
12,F
22 sont les fonctions d'appartenance
aux ensembles flous. Le système peut alors être représenter par le modèle flou
T-S suivant :
Règle 1 du procédé :
Si x1(t) est F11 et x3(t) est F12
Alors {
Règle 2 du procédé :
Si x1(t) est F11 et x3(t) est F22
Alors {
Règle 3 du procédé :
Si x1(t) est F21 et x3(t) est F12
Alors {
Règle 4 du procédé :
Si x1(t) est F21 et x3(t) est F22
Alors {
avec : x(t)=[ x
1(t) x
(t) x
3(t) x
4(t)]
A
1=[
] , B
1=[
]
C
1=[
]
A
2=[
] , B
2=[
]
C
2=[
]
A
3=[
] , B
3=[
]
C
3=[
]
A
4=[
] , B
4=[
]
C
4=[
]
Le système flou augmenté (régulateur + observateur) a été modélisé sous matlab
(Cf. figure
3).Les essais en simulation ont été faits
sur 20s. Les figures
4,
5,
6,
7,
8
et
9 représentent l'évolution du système dans deux cas :
- Applications des conditions de stabilité non relachées
- Applications des conditions de stabilité relachées
Figure 3: Système flou augmenté (Schéma Bloc Simulink)
- Cas 1:
- Utilisation des conditions de stabilité du théorème 7.
Afin de trouver les différents gains F
i du régulateur et K
i
de l'observateur. Grâce à la représentation LMI on détermine la matrice P
commune qui permettra de trouver les gains F
i pour le régulateur puis
ensuite avec la même procédure on détermine les gains K
i . Ensuite
on calcule les G
ij et toujours avec les LMIs on vérifie l'existance
d'une matrice P commune.
Les gains F
i et K
i sont donné pour a=0.8 et b=0.6 :
F
1=[ 2.9531 16.3137
-2.1505
-0.8386]
F
2=[ 2.9595 16.4107
-2.2029
-0.8499]
F
3=[ 4.1290 22.1692
-2.6109
-1.0750]
F
4=[ 4.1183 22.1452
-2.6450
-1.0795]
K
1=[
]
K
2=[
]
K
3=[
]
K
4=[
]
Figure 4: Commande du système flou augmenté dans la cas 1
Figure 5: Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 1
Figure 6: Sorties du système flou augmenté dans la cas 1
- Cas 2:
- Utilisation des conditions de stabilité relâchées du théorème 9.
Afin de trouver les différents gains F
i du régulateur et K
i
de l'observateur. Grâce à la représentation LMI on détermine les matrices P
et Q communes qui permettront de trouver les gains F
i pour
le régulateur puis ensuite avec la même procédure on détermine les gains K
i .
Ensuite on calcule les G
ij et toujours avec les LMIs on vérifie l'existance
d'une matrice P et Q communes.
Les gains F
i et K
i sont donné pour a=0.8 et b=0.6 :
F
1=[ 5.6454 39.0780
-8.3357
-2.5724]
F
2=[ 5.6417 39.0312
-8.3586
-2.5651]
F
3=[ 8.2077 56.2364
-11.4517
-3.6427]
F
4=[ 8.1999 56.1757
-11.4769
-3.6450]
K
1=[
]
K
2=[
]
K
3=[
]
K
4=[
]
Figure 7: Commande du système flou augmenté dans la cas 2
Figure 8: Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 2
-
Figure 9: Sorties du système flou augmenté dans la cas 2
- Remarque :
- Il convient de faire remarquer que les conditions relâchées permettent
d'obtenir une stabilisation plus rapide du système. De même la commande appliquée
est beaucoup plus douce.
7 Critère de stabilité des systèmes à base de réseaux de neurones
Beaucoup d'études ont été faites sur l'application des réseaux de neurones à
la commande adaptative [
Narenda et Parthasarathy1990]. La plus grande des critiques qui aie
été faite envers ces méthodes concerne la stabilité de tels systèmes. Il n'y
a aucun doute sur leur efficacité mais les études concernant leurs stabilités
est quasiment inexistante. En effet il y a beaucoup de problème pour étudier
la stabilité des systèmes à base de réseaux de neurones. Tout d'abord les réseaux
de neurones étant par essence non linéaires, il faut donc utiliser les techniques
d'analyse destabilité non linéaire. Les études récentes sur l'analyse de la
stabilité des sytèmes flous [
Tanaka et Sugeno1990] et [
Tanaka et Sugeno1992] permettent
de dégager des méthodes pour l'étude de la stabilisation des systèmes neuro-flous.
Afin d'appliqués ces méthodes aux réseaux de neurones, il convient de représenter
ces derniers sous la forme d'un système flou.
7.1 Modèle d'un réseau de neurones
Le type de réseau de neurones utilisé pour cette étude est l'un des plus répandu
: un réseau multicouche feeforward ou perceptron avec pour fonction de transfert
une fonction sigmoïde du type :
où q,s > 0 sont les paramètres de la fonction de sortie de tous les neurones
du réseau. On suppose aussi que tous les poids w
ij du réseau sont
correctement fixés par un algorithme d'apprentissage approprié.
Figure 10: Réseau de neurones multicouches type feedforward
D'après la figure
10, on peut considérer le réseau de neurones
par la fonction suivante : x(k+1)=P( x(k),u(k)) ou P
est une fonction non linéaire. x(k)
Î \mathbb R
n est le vecteur
détat et u(k)
Î \mathbb R
m est le vecteur d'entrée. On suppose
aussi que toutes les fonctions f(v) sont dérivables.
En considérant un système complet de commande basé sur les réseau de neurones
on obtient le système de la figure
11 [
Tanaka1996].
Figure 11: Système de commande basé sur les réseaux de neurones
D'après la figure
11, on peut considérer le système complet
par la fonction suivante : x(k+1)=P( x(k),u(k)) et u(k)=Cx(k)
où P et C sont des fonctions non linéaires. x(k)
Î \mathbb R
n
est le vecteur détat et u(k)
Î \mathbb R
m est le vecteur d'entrée.
On suppose ici aussi que toutes les fonctions f(v) sont dérivables.
7.2 Modèlisation d'un réseau de neurones par un modèle T-S
Si il est possible de représenter un réseau de neurones par un modèle de types
T-S [
Tanaka1996], on pourra alors utiliser les techniques de stabilisation
des systèmes flous aux reéseaux de neurones et plus particulièrement les techniques
developpées dans les sections précedentes.
Le point clé de la représentation consiste à transformer la fonction f(v)
de sortie des neurones du réseau en un modèle flou de type T-S. On va raisonner
sur un réseau simple composé d'une seule couche (Cf. figure
14).
Figure 12: Réseau de neurone simple
On a donc v=w
1x(k)+w
2x(k
-1), x(k+1)=f(v), f(v)=s( [ 2/(1+exp(
-[ v/q]) )]
-1)
où w
1 et w
2 sont les poids des connexions. Pour simplifier
on suppose que s=1 . La fonction f(v) vérifie :
Où g
1 et g
2 sont respectivement le minimum et la maximum
de la fonction f
¢(v) tel que :
où
On définit ensuite h
p1(k),h
p2(k)
Î [ 0 1]
et
å2i=1h
pi(k)=1 pour tout k le réseau de neurone
paut alors être représenté par le modèle flou T-S suivant :
| |
|
| |
| |
|
|
2 å
i=1
|
hpigi( w1x(k)+w2x(k-1)) |
| | (63) |
|
où h
pi(k) peut être considérée comme les fonctions d'appartenance
de la partie prémisse. La sortie du réseau f(v) est calculée en faisant
l'interpolation de deux droites g
1v et g
2v (Cf. figure
13).
Figure 13: Representation de l'interpoltion de f(v)\protect
Si on donne un représentation matricielle l'équation
63 s'écrit :
x(k+1)= |
2 å
i=1
|
hpi(k)Aix(k) |
| (64) |
où
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
|
|
é ê
ë
|
|
ù ú
û
|
= |
é ê
ê ë
|
|
ù ú
ú û
|
. |
| |
|
Ceci est bien la représentation d'un modèle flou de type T-S en boucle ouverte.
Cette représentation se complique d'autant plus que le réseau de neurones est
important.
7.3 Critère de stabilité de système à base de réseau de neurones
Comme on l'a vu dans le point précédent, il est possible de représenter un réseau
par un système flou de type T-S. Il est alors possible de leur appliquer les
critères de stabilités décrits précédement.
7.3.1 Conditions de stabilité pour réseau monocouche simple
D'après l'équation
6 et le théorème
2 les conditions
de stabilité pour un réseau simple sont : les suivantes :
Théorème 13
Le réseau de neurones monocouche simple de la figure 14
est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 telle que
7.3.2 Conditions de stabilité pour système flou bouclé
Afin d'analyser la stabilité du système bouclé il convient d'étudier la stabilité
du régulateur et du procédé. En remplacant
9 dans
3
le système complet s'écrit :
|
×
x
|
(t)= |
rp å
i=1
|
|
rc å
j=1
|
mip(k)mic(k)Hijx(k) |
rp å
i=1
|
|
rc å
j=1
|
mip(k)mic(k) |
|
|
|
avec
et rp nombre de règles du modèle flou du procédé et rc nombre
de règles du modèle flou du régulateur/
Théorème 14
Le système flou bouclé à base de réseau de neurones 11
est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 telle que
HTiPHi-P < 0 i=1,...,rp, j=1,...,rc. |
| (66) |
7.4 Analyse de la stabilité
Figure 14: Réseau à 3 couches à 2 entrées
D'après la figure
14 on obtient :
| |
|
| | (67) |
| |
|
| | (68) |
| |
|
w211f11(v11)+w212f12(v12). |
| | (69) |
| |
|
| | (70) |
|
on définit ensuite :
où q
ij sont les paramètres de la fonction de sortie des neurones du
réseaux. D'après l'interpolation faite dans la figure
13
les équations
71-
73 peuvent s'écrire :
| |
|
( h111(k)g111+h112(k)g112) v11, |
| | (74) |
| |
|
( h121(k)g121+h122(k)g122) v12, |
| | (75) |
| |
|
( h211(k)g211+h212(k)g212) v21. |
| | (76) |
|
Où
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
|
| |
| |
|
|
max
v11
|
f¢11( v11) = 0.5/q11 |
| |
| |
|
|
max
v12
|
f¢12( v12) = 0.5/q12 |
| |
| |
|
|
max
v21
|
f¢21( v21) = 0.5/q21 |
| |
|
D'après
70 et
76 on peut écrire :
| |
|
( h211(k)g211+h212(k)g212) ·v21i |
| |
| |
|
| | (77) |
|
En remplaçant
69 dans
77 on a :
x(k+1)= |
2 å
i=1
|
h21i(k)g21i· |
2 å
j=1
|
w21jf1j( v1j) |
| (78) |
et d'après
74 et
75 on obtient :
| |
|
| |
| |
|
· |
2 å
j=1
|
w21j{ h1j1(k)g1j1+h1j2(k)g1j2} v1j |
| |
| |
|
|
2 å
i=1
|
h21i(k)g21i· |
2 å
j=1
|
|
2 å
s=1
|
h11j(k)h12s(k) |
| |
| |
|
×{ g11jw211v11+g12sw212v12} |
| | (79) |
|
D'après
67,
68 et
79 on a :
| |
|
|
2 å
i=1
|
|
2 å
j=1
|
|
2 å
s=1
|
h21i(k)h11j(k)h12s(k) |
| |
| |
|
×[ g21i·{ g11jw211w111+g12sw212w112} |
| |
| |
|
+ g21i·{ g11jw211w121+g12sw212w122} ] |
| |
|
On peut représenter matriciellement de la façon suivante :
x(k+1)= |
2 å
i=1
|
|
2 å
j=1
|
|
2 å
s=1
|
h21i(k)h11j(k)h12s(k)Aijsx(k) |
|
où
| |
|
|
é ê
ë
|
g21i·{ g11jw211w111+g12sw212w112} |
|
g21i·{ g11jw211w121+g12sw212w122} |
|
| |
|
ù ú
û
|
|
| |
| |
|
| |
|
Afin de prouver la stabilité du système flou à base de réseau de neurones il
convient de trouver P tel que : A
ijsTPA
ijs < 0
Références
- [ Ghaoui1997]
-
L. El Ghaoui.
Approche LMI pour la commande : Une introduction.
In Identification et Commande Robuste : Approche LMI, pages
1-25, 1997.
- [ Narenda et Parthasarathy1990]
-
K.S. Narenda et K. Parthasarathy.
Identification and control of dynamical system using neural networks.
In IEEE TRANSACTIONS ON NEURAL NETWORKS, volume 1, pages 4-27,
1990.
- [ Tanaka et al. 1998]
-
K. Tanaka, T. Ikeda, et H.O. Wang.
Fuzzy regulators and fuzzy observers : Relaxed stability conditions
and lmi-based designs.
In IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, volume 6, pages
251-265, 1998.
- [ Tanaka et Sugeno1990]
-
K. Tanaka et M. Sugeno.
Stability analysis of fuzzy systems using lyapunov's direct method.
In NAFIP'S 90, pages 133-136, 1990.
- [ Tanaka et Sugeno1992]
-
K. Tanaka et M. Sugeno.
Stability analysis and design of fuzzy controls systems.
In Fuzzy Sets and Systems, volume 45, pages 135-156, 1992.
- [ Tanaka1996]
-
K. Tanaka.
An approach to stability criteria of neural-network control systems.
In IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, volume 7, pages
629-642, 1996.
- [ Wang et al. 1996]
-
H.O. Wang, K. Tanaka, et M.F. Griffin.
An approach to fuzzy control of nonlinear systems : Stability and
design issues.
In IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, volume 4, pages 14-23,
1996.